Mi az exponenciális disztribúció?
Az exponenciális eloszlás arra a folyamatos és állandó valószínűség-eloszlásra utal, amelyet valójában annak az időtartamnak a modellezésére használnak, amelyre az embernek várnia kell, mielőtt az adott esemény bekövetkezne, és ez az eloszlás a megfelelő geometriai eloszlás folyamatos megfelelője, amely ehelyett elkülönül.
Exponenciális eloszlás képlete
Egy folytonos x véletlen változóról (λ> 0 skálaparaméterrel) csak akkor van exponenciális eloszlás, ha annak valószínűségi sűrűségfüggvényét úgy lehet kifejezni, hogy a skálaparamétert megszorozzuk a mínusz skálaparaméter és az x exponenciális függvényével, és minden x-nél nagyobb, vagy nulla, különben a valószínűségi sűrűségfüggvény nulla.
Matematikailag a valószínűségi sűrűségfüggvény a következő,
olyan, hogy az átlag egyenlő 1 / λ, és a variancia egyenlő 1 / λ 2 .
Az exponenciális eloszlás kiszámítása (lépésről lépésre)
- 1. lépés: Először próbálja meg kitalálni, hogy a vizsgált esemény folyamatos és független jellegű-e, és nagyjából állandó sebességgel történik-e. Minden gyakorlati esemény biztosítja, hogy a változó nagyobb vagy egyenlő nulla.
- 2. lépés: Ezután határozza meg a skála paraméter értékét, amely változatlanul az átlag reciproka.
-
- λ = 1 / átlag
- 3. lépés: Ezután meg kell szorozni a λ skála paramétert és az x változót, majd kiszámítani a szorzat exponenciális függvényét szorozva mínusz eggyel, azaz e - λ * x .
- 4. lépés: Végül a valószínűségi sűrűség függvény kiszámítása az exponenciális függvény és a skála paraméter szorzatával történik.
Ha a fenti képlet igaz minden x-nél, amely nagyobb vagy egyenlő nullával, akkor x exponenciális eloszlás.
Példa
Vegyük az x példát, amely annyi idő (percben), amennyit egy irodai peon igénybe vesz az igazgató asztalától az ügyintéző asztaláig. Feltételezzük, hogy az idő függvényében exponenciális eloszlás van, az átlagos időtartam öt perc.
Tekintettel arra, hogy x folyamatos véletlenszerű változó, mivel az időt mérjük.
Átlag, μ = 5 perc
Ezért skála paraméter, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Ezért az exponenciális eloszlás valószínűségi függvény levezethető,
f (x) = 0,20 e - 0,20 * x
Most számolja ki a valószínűségfüggvényt x különböző értékeinél az eloszlási görbe levezetéséhez.
Az x = 0 esetén
az x = 0 exponenciális eloszlás valószínűségi függvénye lesz,
Hasonlóképpen, számítsa ki az exponenciális eloszlás valószínűségi függvényét x = 1-től x = 30-ig
- X = 0 esetén f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- X = 1 esetén f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- X = 2 esetén f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- X = 3 esetén f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- X = 4 esetén f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- X = 5 esetén f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- X = 6 esetén f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- X = 7 esetén f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- X = 8 esetén f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- X = 9 esetén f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- X = 10 esetén f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- X = 11 esetén f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- X = 12 esetén f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- X = 13 esetén f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- X = 14 esetén f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- X = 15 esetén f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- X = 16 esetén f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- X = 17 esetén f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- X = 18 esetén f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- X = 19 esetén f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- X = 20 esetén f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- X = 21 esetén f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- X = 22 esetén f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- X = 23 esetén f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- X = 24 esetén f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- X = 25 esetén f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- X = 26 esetén f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- X = 27 esetén f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- X = 28 esetén f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- X = 29 esetén f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- X = 30 esetén f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Az alábbiak szerint származtattuk az eloszlási görbét,
Relevancia és felhasználás
Bár az állandó sebesség feltételezése nagyon ritkán teljesül a valós forgatókönyvekben, ha az időintervallumot úgy választják meg, hogy az arány nagyjából állandó legyen, akkor az exponenciális eloszlás jó közelítő modellként használható. Számos egyéb alkalmazása van a fizika, a hidrológia stb. Területén.
A statisztikákban és a valószínűségelméletben az exponenciális eloszlás kifejezése arra a valószínűségeloszlásra utal, amelyet arra használnak, hogy meghatározzák az egymást követő, egymástól függetlenül és folyamatosan, állandó átlagos sebességgel bekövetkező események közötti időt. Ez az egyik széles körben használt folyamatos eloszlás, és szorosan kapcsolódik az excel Poisson-eloszlásához.
