Mi a log-normál elosztás?
A log-normális eloszlás olyan véletlen változók folyamatos eloszlása, amelyek logaritmusai normálisan oszlanak el. Más szavakkal, a lognormális eloszlást az e x függvény generálja , ahol feltételezhetően normál eloszlású az x (véletlen változó). Az e természetes logaritmusában x x, a lognormálisan eloszlott véletlen változók logaritmusai általában eloszlanak.
Az X változó normál eloszlású, ha Y = ln (X), ahol ln a természetes logaritmus.
- Y = e x
- Tegyük fel, hogy mindkét oldalon természetes a logaritmus.
- lnY = ln e x, amelynek eredményeként lnY = x lesz
Ezért azt mondhatjuk, hogy ha X véletlen változó normális eloszlású, akkor Y lognormális eloszlású.
Log-Normal Distribution Formula
A lognormális eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvényének képletét az μ μ átlag és a σ szórás határozza meg, amelyet a következők jelölnek:
A log-normál eloszlás paraméterei
A log-normális eloszlást a következő három paraméter jellemzi:
- σ , az eloszlás logjának szórása, amelyet alakparaméternek is nevezünk. Az alakparaméter általában befolyásolja a lognormális eloszlás teljes alakját, de nem befolyásolja a grafikon helyét és magasságát.
- m , az eloszlás mediánja, más néven skála paraméter.
- Θ , az a helyparaméter , amellyel a grafikon megtalálható az x tengelyen.
Az átlag és a szórás a lognormális eloszlás két fő paramétere, és ezt kifejezetten ez a két paraméter határozza meg.
A következő ábra a normális eloszlást és a log-normális eloszlást szemlélteti.
A fenti ábra alapján a log-normális eloszlás következő jellemzőit jegyezhetjük meg.
- A log-normális eloszlások pozitívan ferdülnek jobbra az alacsonyabb átlagértékek és a véletlen változók nagyobb szórása miatt.
- A lognormális eloszlást mindig alulról 0 határolja, mivel ez segít az eszközárak modellezésében, amelyek várhatóan nem tartalmaznak negatív értékeket.
- A lognormális eloszlás pozitívan torzul sok kis érték mellett, és tartalmaz néhány fő értéket, amelyek azt eredményezik, hogy az átlag nagyon gyakran nagyobb, mint a mód.
A fenti ábra alapján megfigyelhettük, hogy a log-normális eloszlást 0 határolja, és ez pozitívan ferde jobbra, amit hosszú farka észlelhetett jobb felé. Ezt a két megfigyelést tekintjük a lognormális eloszlások fő tulajdonságainak. A gyakorlatban a lognormális eloszlások nagyon hasznosnak bizonyultak a részvény- vagy eszközárak eloszlásában, míg a normál eloszlás nagyon hasznos az eszköz egy adott időszakban várható hozamának becslésében.
Példák log-normál eloszlásra
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát, ahol a log-normális eloszlások használhatók:
- A gázmennyiség az energia- és kőolajtartalékban.
- A tejtermelés volumene.
- A csapadék mennyisége.
- Azok a gyártási és ipari egységek potenciális élettartama, amelyek túlélési esélyeit a stressz mértéke jellemzi.
- A fertőző betegség fennállásának időtartama.
A Log-Normal disztribúció alkalmazása és felhasználása
Az alábbiakban a log-normal eloszlás alkalmazásai és felhasználásai találhatók.
- A leggyakrabban használt és legnépszerűbb eloszlás a normális eloszlás, amely eloszlású és szimmetrikus, és harang alakú görbét képez, amely különböző természetes mintákat modellezett az egyszerűtől a nagyon összetettig.
- De vannak olyan esetek, amikor a normális eloszlás olyan korlátokkal szembesül, ahol a lognormális eloszlás könnyen alkalmazható. A normális eloszlás negatív véletlen változót vehet figyelembe, de a lognormális eloszlás csak pozitív véletlen változókat feltételez.
- Az egyik különféle alkalmazás, ahol a lognormális eloszlást alkalmazzák a pénzügyekben, ahol az eszközárak elemzésénél alkalmazzák. Az eszközök várható megtérülését normál eloszlásban, de az eszközök árát lognormális eloszlásban ábrázolják.
- A lognormális eloszlási görbe segítségével könnyen kiszámíthatjuk az eszközök összetett megtérülési rátáját egy bizonyos időtartamra.
- Abban az esetben, ha normál eloszlást alkalmaztunk az eszközárak kiszámításához egy bizonyos időtartamra, lehetőség van -100% alatti hozam elérésére, amely később 0-nál alacsonyabb eszközárakat feltételez. De ha lognormális eloszlást használunk a vegyület becsléséhez megtérülési rátát egy idő alatt, könnyen elháríthatjuk a negatív hozamok kialakulásának helyzetét, mivel a lognormális eloszlás csak pozitív véletlenszerű változókat vesz figyelembe.
- Az ár relatív értéke az eszköz árfolyama az időszak végén elosztva az eszköz kezdeti árával, amely megegyezik 1 plusz tartási időszak hozamával. Az időszaki eszköz eszközének végének megtalálásához ugyanazt megkaphatjuk, ha megszorozzuk azt a relatív ár és a kezdeti eszköz árának szorzatával. A lognormális eloszlás csak pozitív értéket vesz fel; ezért az eszköz ára az időszak végén nem lehet 0 alatt.
Log-Normal eloszlás a részvényárfolyamok modellezésében
A log-normál eloszlást használták a részvények és sok más eszközárak valószínűségi eloszlásának modellezésére. Például megfigyeltük, hogy lognormális megjelenés mutatkozik a Black-Scholes-Merton opció árazási modelljében, ahol feltételezhető, hogy az alapul szolgáló eszköz opciójának lognormális eloszlása egyidejűleg történik.
Következtetés
- A normális eloszlás a valószínűségi eloszlás, amely állítólag aszimmetrikus és harang alakú görbe. Normál eloszlás esetén az eredmény 69% -a egy szórásba, 95% pedig a két szórásba esik.
- A normális eloszlás népszerűsége miatt a legtöbb ember ismeri a normális eloszlás fogalmát és alkalmazását, de akkoriban úgy tűnik, hogy nem ismeri egyformán a lognormális eloszlás fogalmát. A normál eloszlás logaritmus segítségével konvertálható lognormális eloszlássá, ami alapvető alapot jelent, mivel a lognormális eloszlások az egyetlen véletlen változót tekintik, amely normálisan eloszlik.
- A lognormális eloszlások a normális eloszlással együtt használhatók. A lognormális eloszlások az ln természetes logaritmus feltételezésének eredményei, amelyben az alap egyenlő e = 2,718. Az adott bázis mellett a lognormális eloszlás elkészíthető egy másik bázis felhasználásával, amely később befolyásolja a lognormális eloszlás alakját.
- A lognormális eloszlás a normál eloszlású görbék normál eloszlású véletlen változók logját ábrázolja. Az ln, a természetes log ismeretes e, kitevő, amelyhez egy bázist fel kell emelni, hogy megkapjuk a kívánt x véletlen változót, amely megtalálható a normális eloszlási görbén.
