Képlet a Z-Score kiszámításához
A nyers adatok Z-pontszáma arra a pontszámra vonatkozik, amelyet akkor kapunk, ha megmérjük, hogy a populáció átlaga felett vagy alatt hány szórás van-e, ami segít a vizsgált hipotézis tesztelésében. Más szavakkal, ez az adatpont távolsága a sokaság átlagától, amelyet a szórás többszöröseként fejeznek ki.
- A z-pontszámok a szórás -3-szorosának (a normál eloszlás bal szélén) és a szórás +3-szorosának (a normális eloszlás jobb szélén) tartományában változnak.
- A z-pontszámok átlaga 0 és szórása 1.
Az adatpont z-pontszámának egyenletét úgy számoljuk ki, hogy az adatpontból kivonjuk a sokaság átlagát ( x-nek nevezzük ), majd az eredményt elosztjuk a sokaság szórásával. Matematikailag a következőképpen ábrázolják:
Z Pontszám = (x - μ) / ơ
hol
- x = Adatpont
- μ = átlag
- ơ = szórás
A Z-pontszám kiszámítása (lépésről lépésre)
Az adatpont z-pontszámának egyenletét a következő lépésekkel lehet levezetni:
- 1. lépés: Először határozzuk meg az adatkészlet átlagát az adatpontok vagy megfigyelések alapján, amelyeket x i- vel jelölünk , míg az adatkészlet összes adatpontját N-vel jelöljük.
- 2. lépés: Ezután határozza meg a populáció szórását a μ populációs átlag, az x i adatpontok és az N populáció adatpontjai alapján.
- 3. lépés: Végül a z-pontszámot úgy kapjuk meg, hogy kivonjuk az átlagot az adatpontból, majd az eredményt elosztjuk a szórással, az alábbiak szerint.
Példák
1. példa
Vegyünk példát egy olyan 50 fős osztályról, amely a múlt héten írta a természettudományi tesztet. Ma van az eredménynap, és az osztályfőnök elmondta, hogy John 93 pontot ért el a teszten, míg az osztály átlagos pontszáma 68. Határozza meg John tesztjegyének z-pontszámát, ha a szórás 13.
Megoldás:
Adott,
- John teszt pontszáma, x = 93
- Átlag, μ = 68
- Szórás, ơ = 13
Ezért a John teszt pontszámának z-pontszámát a fenti képlet segítségével lehet kiszámítani,
Z = (93-68) / 13
A Z pontszám lesz -
Z pontszám = 1,92
Ezért a John Ztest-pontszáma 1,92 szórás az osztály átlagos pontszáma felett, ami azt jelenti, hogy az osztály (49 tanuló) 97,26% -a kevesebbet ért el, mint John.
2. példa
Vegyünk egy másik részletes példát 30 tanulóra (mivel a z-teszt nem megfelelő kevesebb, mint 30 adatpontra), akik megjelentek egy osztályteszten. Határozzuk meg a z-próba pontszámot a 4 th hallgatója alapuló jelek szerezte a hallgatók által a 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66., 65., 52., 54., 83., 86., 94., 85., 72., 62., 64., 74., 82., 58., 57., 51., 91.
Megoldás:
Adott,
- x = 65,
- 4 -én hallgató szerzett = 65,
- Adatpontok száma, N = 30.
Átlag = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Átlag = 71.30
Most a szórás kiszámítható az alábbi képlet segítségével,
ơ = 13,44
Ezért, Z-pontszám a 4 th tanuló lehet kiszámítani a fenti képlet alkalmazásával, mint,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Ezért a 4 -én tanuló pontszáma 0,47 szórása alatt az átlagos pontszám az osztályban, ami azt jelenti, hogy 31,92% az osztály (10 diák) szerzett kevesebb, mint a 4 -én hallgató, mint egy Z- pontszámot asztalra.
Z pontszám az Excelben (Excel sablonnal)
Most vegyük a 2. példában említett esetet, hogy bemutassuk a z-score fogalmát az alábbi excel sablonban.
Az alábbiakban a Z-pont kiszámításához adunk adatokat.
A Z Score Formula Test Statistics részletes kiszámításához lásd az alábbi excel lapot.
Relevancia és felhasználás
A hipotézis tesztelés szempontjából a z-score nagyon fontos fogalom, amelyet meg kell érteni, mert annak tesztelésére szolgál, hogy a tesztstatisztika az elfogadható értéktartományba esik-e vagy sem. A z-pontszámot az adatok elemzés előtti standardizálására, a pontszám valószínűségének kiszámítására vagy két vagy több adatpont összehasonlítására is használják, amelyek különböző normális eloszlásokból származnak. Megfelelően alkalmazva a z-score sokféle területen alkalmazható.
