Euler-féle függvény - jelentése, példái, hogyan kell kiszámítani?

Mi az Euler-féle függvény?

Euler Totient függvénye az a matematikai multiplikatív függvény, amely a pozitív egész számokat az adott egész számig számolja, amelyet általában „n” -nek nevezünk, amelyek „n” prímszámok, és a függvény segítségével megismerjük a prímszámok számát. megadott 'n' egész szám.

Magyarázat

Annak megismeréséhez, hogy hány prímszám érkezik a megadott egész számra, az 'n' Euler Totient függvényt használjuk. Számtani függvénynek is nevezik. Az Euler Totient függvény alkalmazásához vagy használatához két dolog fontos. Az egyik az, hogy az adott 'n' egész számból képzett gcd-nek multiplikatívnak kell lennie egymással, a másik pedig, hogy a gcd számai csak a prímszámok lehetnek. Az 'n' egész számnak ebben az esetben nagyobbnak kell lennie, mint 1. A negatív egész számból nem lehet kiszámítani az Euler-féle függvény függvényét. Az alapelv ebben az esetben az, hogy ϕ (n) esetén az m és n nevű szorzóknak nagyobbaknak kell lenniük, mint 1. Ezért ezt 1-vel jelöljük

Történelem

Euler 1763-ban vezette be ezt a függvényt. Elején kezdetben Euler a görög π-t használta a függvény jelölésére, de néhány kérdés miatt a görög π jelölése nem kapta meg a felismerést. És nem adta meg neki a megfelelő jelölési jelet, azaz ϕ. Ezért a funkció nem vezethető be. Továbbá ϕ a Gauss 1801-es Disquisitiones Arithmeticae-ből származik. A függvényt phi függvénynek is nevezik. De JJ Sylvester 1879-ben a tulajdonságok és a funkciók felhasználása miatt tartalmazta a függvény totsens kifejezést. A különböző szabályok különböző típusú egész számok kezelésére szolgálnak, például ha p egész szám prímszám, akkor melyik szabályt kell alkalmazni stb., Az Euler által kialakított összes szabály megvalósítható, és még ma is használható, miközben a azonos.

Az Euler-féle függvény tulajdonságai

Van néhány különböző tulajdonság. Az Euler-féle függvény tulajdonságainak egyes tulajdonságai a következők:

  • Φ a függvény jelölésére használt szimbólum.
  • A függvény a prímszámok elméletével foglalkozik.
  • A függvény csak pozitív egész számok esetén alkalmazható.
  • Φ (n) esetén két multiplikatív prímszámot kell találni a függvény kiszámításához.
  • A függvény matematikai függvény, és sok szempontból hasznos.
  • Ha az 'n' egész szám prímszám, akkor gcd (m, n) = 1.
  • A függvény az 1 képleten működik <m <n, ahol m és n a prímszámok és a szorzók.
  • Általában az egyenlet az
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • A függvény alapvetően megszámolja az adott egésznél kisebb pozitív egész számok számát, ami viszonylag prímszám az adott egészhez képest.
  • Ha megadott p egész szám, akkor then (p) = p - 1
  • Ha p értéke hatványos, akkor ha a = p n prímhatás, akkor ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) nem egy - egy
  • ϕ (n) nincs rajta.
  • ϕ (n), n> 3 mindig páros.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Számítsa ki Euler-féle függvényt

1. példa

Számítsuk ki ϕ (7)?

Megoldás:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Mivel az összes szám prímszám 7-ig, ezért megkönnyítette a ϕ kiszámítását.

2. példa

Számítsuk ki ϕ (100)?

Megoldás:

Mivel a 100 nagy szám, ezért időigényes 1-től 100-ig kiszámítani azokat a prímszámokat, amelyek 100-as prímszámok. Ezért az alábbi képletet alkalmazzuk:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

3. példa

Számítsuk ki ϕ (240)?

A 240 többszöröse 16 * 5 * 3, azaz 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

ha n M nem prímszám, akkor n m - n m-1-et használunk

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

4. példa

Számítsuk ki ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1–1 / m) (1–1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Alkalmazások

A különféle alkalmazások a következők:

  • A függvény az internetes biztonsági titkosításhoz használt RSA titkosítási rendszer meghatározására szolgál.
  • A prímszám-elméletben használják.
  • Nagy számításokban is használják.
  • Elemi számelmélet alkalmazásában használják.

Következtetés

Euler tottens függvénye sok szempontból hasznos. Az RSA titkosítási rendszerben használják, amelyet biztonsági célokra használnak. A függvény a prímszám elmélettel foglalkozik, és nagy számítások kiszámításakor is hasznos. A függvényt algebrai számításokban és elemi számokban is használják. A függvény jelölésére használt szimbólum a ϕ, és phi függvénynek is nevezik. A funkció inkább elméleti, mint gyakorlati felhasználásból áll. A funkció gyakorlati használata korlátozott. A funkció jobban érthető a különböző gyakorlati példákon keresztül, nem csak elméleti magyarázatokkal. Az Euler tottens függvényének kiszámítására különféle szabályok vonatkoznak, és különböző számokhoz különböző szabályokat kell alkalmazni. A funkciót először 1763-ban vezették be, de néhány kérdés miatt1784-ben kapott elismerést, és 1879-ben módosították a nevet. A függvény univerzális függvény, és mindenhol alkalmazható.

érdekes cikkek...