A ferdeségi képlet egy statisztikai képlet, amely kiszámítja az adott változóhalmaz valószínűségi eloszlását, és ez lehet pozitív, negatív vagy meghatározatlan.
Képlet a ferdeség kiszámításához
A „ferdülés” kifejezés arra a statisztikai mutatóra utal, amelyet a véletlen változók valószínűségi eloszlásának aszimmetriájának mérésére használnak a saját átlagára vonatkozóan, és értéke lehet pozitív, negatív vagy meghatározhatatlan. A ferdeségi egyenlet kiszámítását az eloszlás átlaga, a változók száma és az eloszlás szórása alapján végezzük.
Matematikailag a ferdeségi képletet a következőképpen ábrázoljuk:
Ferdeség = ∑ N i (X i - X) 3 / (N-1) * σ 3
hol
- X i = i . Véletlen változó
- X = az eloszlás átlaga
- N = Változók száma az eloszlásban
- Ơ = Standard eloszlás
A ferdeség kiszámítása (lépésről lépésre)
- 1. lépés: Először alakítson ki egy véletlen változók adateloszlását, és ezeket a változókat X i- vel jelöljük .
- 2. lépés: Ezután találja ki az adateloszlásban rendelkezésre álló változók számát, és ezt N-vel jelöljük.
- 3. lépés: Ezután számítsa ki az adateloszlás átlagát úgy, hogy az adateloszlás összes véletlenszerű változójának összegét elosztja az eloszlásban szereplő változók számával. Az eloszlás átlagát X-szel jelöljük.
- 4. lépés: Ezután határozza meg az eloszlás szórását az egyes változók átlagtól, azaz X i - X-től és az eloszlásban levő változók számától való eltéréseivel . A szórás kiszámítása az alábbiak szerint történik.
- 5. lépés: Végül a ferdeség kiszámítását az egyes változók átlagtól, számos változótól való eltérése és az eloszlás szórása alapján végezzük, az alábbiak szerint.
Példa
Vegyünk egy példát egy nyári táborra, amelynek során 20 diák kijelölt bizonyos munkákat, amelyeket pénzkeresés céljából végeztek az iskolai piknikre szánt források összegyűjtésére. A különböző hallgatók azonban más összeget kerestek. Az alábbiakban megadott információk alapján határozza meg a diákok közötti jövedelemelosztás torzítását a nyári tábor során.
Megoldás:
Az alábbiakban bemutatjuk a ferdeség kiszámításához szükséges adatokat.
Változók száma, n = 2 + 3 + 5 + 6 + 4 = 20
Számítsuk ki az egyes intervallumok középpontját!
- (0 USD + 50 USD) / 2 = 25 USD
- (50 USD + 100 USD) / 2 = 75 USD
- (100 USD + 150 USD) / 2 = 125 USD
- (150 USD + 200 USD) / 2 = 175 USD
- (200 USD + 250 USD) / 2 = 225 USD
Most az eloszlás átlaga kiszámítható,
Átlagos = (25 USD * 2 + 75 USD * 3 + 125 USD * 5 + 175 USD * 6 + 225 USD * 4) / 20
Átlag = 142,50 USD
Az egyes változók eltéréseinek négyzete az alábbiak szerint számítható:
- (25 USD - 142,5 USD) 2 = 13806,25
- (75 USD - 142,5 USD) 2 = 4556,25
- (125 USD - 142,5 USD) 2 = 306,25
- (175 USD - 142,5 USD) 2 = 1056,25
- (225 USD - 142,5 USD) 2 = 6806,25
A standard eltérés kiszámítható az alábbi képlet segítségével:
ơ = ((13806,25 * 2 + 4556,25 * 3 + 306,25 * 5 + 1056,25 * 6 + 6806,25 * 4) / 20) 1/2
ơ = 61,80
Az egyes változók eltéréseinek kockái az alábbiak szerint számíthatók,
- (25 USD - 142,5 USD) 3 = -1622234.4
- (75 USD - 142,5 USD) 3 = -307546,9
- (125 USD - 142,5 USD) 3 = -5359,4
- (175 USD - 142,5 USD) 3 = 34328,1
- (225 USD - 142,5 USD) 3 = 561515,6
Ezért az eloszlás ferdeségének kiszámítása a következő lesz,
= (-1622234.4 * 2 + -307546,9 * 3 + -5359,4 * 5 + 34328,1 * 6 + 561515,6 * 4) / ((20 - 1) * (61,80) 3 )
A ferdeség -
Ferdeség = -0,39
Ezért az eloszlás ferdesége -0,39, ami azt jelzi, hogy az adateloszlás megközelítőleg szimmetrikus.
A ferdeség képlet relevanciája és felhasználása
Amint már ebben a cikkben is látható, a ferdeséget használják az adateloszlás szimmetriájának leírására vagy megbecsülésére. Nagyon fontos a kockázatkezelés, a portfóliókezelés, a kereskedés és az opciós árak szempontjából. A mértéket „ferdeségnek” hívják, mert az ábrázolt grafikon ferde megjelenítést ad. A pozitív ferdeség azt jelzi, hogy az extrém változók nagyobbak, mint a ferdeségek. Az adateloszlás olyan módon növeli az átlagértéket, hogy nagyobb legyen, mint a medián, ami torz adatsort eredményez. Másrészt a negatív torzulás azt jelzi, hogy az extrém változók kisebbek, ami lehozza az átlagértéket, ami az átlagnál nagyobb mediánt eredményez. Tehát a ferdeség megállapítja a szimmetria hiányát vagy az aszimmetria mértékét.
