Központi korlát tétel definíciója
A központi határtétel kimondja, hogy a populáció véletlen változójának bármilyen eloszlású véletlen mintája megközelíti a normális valószínűség eloszlást, amint a minta mérete növekszik, és feltételezi, hogy mivel a minta nagysága a populációban meghaladja a 30-at, az átlag A minta összes megfigyelésének átlaga b közel lesz a populáció átlagához.
Központi határtétel képlete
Már megbeszéltük, hogy amikor a minta mérete meghaladja a 30-at, az eloszlás normális eloszlás alakját ölti. A változó normál eloszlásának meghatározásához fontos ismerni annak átlagát és varianciáját. Normális eloszlást kijelölhetünk
X ~ N (µ, α)
Hol
- N = megfigyelések száma
- µ = a megfigyelések átlaga
- α = szórás
Az esetek többségében a megfigyelések nem sok mindent tárnak fel nyers formában. Tehát elengedhetetlen a megfigyelések egységesítése, hogy ezt össze lehessen hasonlítani. A z-score segítségével történik. Meg kell számítani a megfigyelés Z-pontszámát. A z-pontszám kiszámításának képlete az
Z = (X-µ) / α / √n
Hol
- Z = a megfigyelések Z-pontszáma
- µ = a megfigyelések átlaga
- α = szórás
- n = minta mérete
Magyarázat
A központi határtétel szerint egy véletlenszerű populációváltozó véletlenszerű mintái bármilyen eloszlás mellett a minta méretének növekedésével normális valószínűség-eloszláshoz fognak közelíteni. A központi határtétel azt feltételezi, hogy mivel a minta nagysága a populációban meghaladja a 30-at, a minta átlaga, amely a minta összes megfigyelésének átlaga, megközelíti a populáció átlagát. Ezenkívül a minta szórása, ha a minta mérete meghaladja a 30-at, megegyezik a populáció szórásával. Mivel a mintát véletlenszerűen választják ki az egész populációból, és a minta mérete meghaladja a 30-at, ez segít a hipotézisek tesztelésében és a hipotézis-teszt konfidencia intervallumának kialakításában.
Példák a központi határ tétel képletére (Excel sablonnal)
1. példa
Értsük meg a normális eloszlás fogalmát egy példa segítségével. A befektetési alapok átlagos hozama 12%, a befektetési alapok átlagos hozamának szórása 18%. Ha feltételezzük, hogy a hozam eloszlása normálisan oszlik meg, akkor értelmezzük a megtérülés eloszlását a befektetési alap befektetésében.
Adott,
- A befektetés átlagos megtérülése 12% lesz
- A szórás 18% lesz
Tehát, hogy megtudjuk a 95% -os konfidenciaintervallum megtérülését, megtudhatjuk az as egyenlet megoldásával
- Felső tartomány = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Alsó tartomány = 12 - 1,96 (18) = -23%
Az eredmény azt jelzi, hogy az idő 95% -ában a befektetési alap hozama 47% és -23% között mozog. Ebben a példában a mintanagyság, amely egy több mint 30 megtérülési megfigyelésből származó véletlenszerű minta visszatérése, megadja nekünk az eredményt a befektetési alap populációs hozamára vonatkozóan, mivel a minta eloszlása normálisan oszlik meg.
2. példa
Ugyanezen példával folytatva határozzuk meg, hogy mi lesz az eredmény egy 90% -os megbízhatósági intervallum esetén
Adott,
- A befektetés átlagos megtérülése 12% lesz
- A szórás 18% lesz
Tehát, hogy megtudjuk a 90% -os konfidenciaintervallum megtérülését, megtudhatjuk az as egyenlet megoldásával
- Felső tartomány = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Alsó tartomány = 12 - 1,65 (18) = -18%
Az eredmény azt jelzi, hogy az idő 90% -ában a befektetési alap hozama 42% és -18% között mozog.
3. példa
Ugyanezen példával folytatva határozzuk meg, hogy mi lesz az eredmény egy 99% -os megbízhatósági intervallum esetén
Adott,
- A befektetés átlagos megtérülése 12% lesz
- A szórás 18% lesz
Tehát, hogy megtudjuk a 90% -os konfidenciaintervallum megtérülését, megtudhatjuk az as egyenlet megoldásával
- Felső tartomány = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Alsó tartomány = 12 - 2,58 (18) = -34%
Az eredmény azt jelzi, hogy a befektetési alapok megtérülése az esetek 99% -ában 58% és -34% között mozog.
Relevancia és felhasználás
A központi határtétel rendkívül hasznos, mivel lehetővé teszi a kutató számára, hogy a minta segítségével megjósolja a teljes populáció átlagát és szórását. Mivel a mintát véletlenszerűen választják ki a teljes populációból, és a minta mérete meghaladja a 30-at, akkor a populációból vett bármely véletlenszerű minta megközelíti a normális eloszlást, ami segít a hipotézisek tesztelésében és a konfidencia intervallum felépítésében. hipotézis tesztelése. A központi határtétel alapján a kutató bármilyen véletlenszerű mintát kiválaszthat a teljes populációból, és ha a minta mérete meghaladja a 30-at,akkor a minta segítségével meg tudja jósolni a populációt, mivel a minta normális eloszlást fog követni, és mivel a minta átlaga és szórása megegyezik a populáció átlagával és szórásával.
