Hipergeometrikus eloszlás meghatározása
A statisztikákban és a valószínűségelméletben a hiperggeometrikus eloszlás alapvetően egy különálló valószínűségi eloszlás, amely meghatározza k sikerek valószínűségét (azaz néhány véletlenszerű sorsolást a megrajzolt objektumhoz, amelynek van valamilyen meghatározott jellemzője) abban az esetben, ha n nincs húzás, anélkül, hogy bármilyen helyettesítenénk az adott N populációs méret, amely pontosan K objektumot tartalmaz, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal, ahol a sorsolás sikerrel járhat, vagy kudarcot vallhat.
A hipergeometrikus eloszlás valószínűségének képletét a sokaság elemei, a mintában szereplő elemek száma, a populációban elért sikerek száma, a mintában elért sikerek száma és néhány kombináció felhasználásával származtatjuk. Matematikailag a valószínűség a következő,
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n![](https://cdn.know-base.net/9325596/hypergeometric_distribution_definition-_formula_how_to_calculate_.jpg.webp)
hol,
- N = tételek száma a populációban
- n = a mintában szereplő elemek száma
- K = sikerek száma a populációban
- k = a mintában elért sikerek száma
A hipergeometrikus eloszlás átlagát és szórását a következőképpen fejezzük ki:
Átlag = n * K / N szórás = (n * K * (N - K) * (N - n) / (N 2 * (N - 1))) 1/2Magyarázat
1. lépés: Először határozza meg a populáció összes elemének számát, amelyet N. jelöl. Például a pakliban lévő kártyák száma 52.
2. lépés: Ezután határozza meg a mintában szereplő elemek számát, amelyet n jelöl, például a pakliból kihúzott kártyák számát.
3. lépés: Ezután határozza meg azokat az eseteket, amelyek sikernek számítanak a populációban, és ezt K. jelöli. Például a teljes fedélzeten lévő szívek száma, amely 13.
4. lépés: Ezután határozza meg azokat az eseteket, amelyek sikeresnek számítanak a kivont mintában, és ezt k-val jelöljük. Pl. A paklikból kihúzott kártyákon lévő szívek száma.
5. lépés: Végül a hiperggeometriai eloszlás valószínűségének képletét a sokaság elemei (1. lépés), a mintában szereplő elemek száma (2. lépés), a populációban elért sikerek száma (3. lépés) felhasználásával származtatjuk. és a mintában elért sikerek száma (4. lépés) az alábbiak szerint.
P = K C k * (N - K) C (n - k) / N C nPéldák hipergeometrikus eloszlásra (Excel sablonnal)
1. példa
Vegyünk egy példát egy közönséges játékkártya-paklira, ahol véletlenszerűen 6 kártya húzódik ki véletlenszerűen pótlás nélkül. Határozza meg pontosan 4 piros lakosztálykártya, azaz gyémánt vagy szív kihúzásának valószínűségét.
- Adott, N = 52 (mivel egy átlagos pakliban 52 kártya van)
- n = 6 (a pakliból véletlenszerűen kihúzott kártyák száma)
- K = 26 (mivel egyenként 13 piros lap van gyémánt- és szívcsomagban)
- k = 4 (A kihúzott mintában sikeresnek tekintendő piros lapok száma)
Megoldás:
Ezért a fenti képlet segítségével kiszámítható annak a valószínűsége, hogy pontosan 4 piros színű kártyát rajzolunk a kihúzott 6 kártyába,
![](https://cdn.know-base.net/9325596/hypergeometric_distribution_definition-_formula_how_to_calculate_.png.webp)
Valószínűség = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 26 C 4 * (52 - 26) C (6 - 4) / 52 C 6
= 26 ° C 4 * 26 ° C 2 / 52 C 6
= 14950 * 325/20358520
A valószínűség:
![](https://cdn.know-base.net/9325596/hypergeometric_distribution_definition-_formula_how_to_calculate__2.png.webp)
Valószínűség = 0,2387 ~ 23,87%
Ezért 23,87% a valószínűsége annak, hogy pontosan 4 piros lapot húzzunk ki, miközben 6 véletlenszerű kártyát húzzunk egy közönséges pakliból.
2. példa
Vegyünk egy másik példát egy pénztárcára, amely 5 $ 100 és 7 $ 1 számlát tartalmaz. Ha véletlenszerűen kiválasztunk 4 számlát, akkor határozzuk meg a valószínűségét, hogy pontosan 3 100 dolláros számlát válasszunk.
- Adott, N = 12 (100 dollár számlák száma + 1 dollár számlák száma)
- n = 4 (véletlenszerűen kiválasztott számlák száma)
- K = 5 (mivel 5 db 100 USD számla van)
- k = 3 (100 dollár számlák száma, amelyet sikeresnek kell tekinteni a kiválasztott mintában)
Megoldás:
Ezért a véletlenszerűen kiválasztott 4 számlán pontosan 3 $ 100 számla kiválasztásának valószínűsége kiszámítható a fenti képlet segítségével,
![](https://cdn.know-base.net/9325596/hypergeometric_distribution_definition-_formula_how_to_calculate__3.png.webp)
Valószínűség = K C k * (N - K) C (n - k) / N C n
= 5 C 3 * (12 - 5) C (4 - 3) / 12 C 4
= 5 ° C 3 * 7 C 1 / 12- C- 4
= 10 * 7/495
A valószínűség -
![](https://cdn.know-base.net/9325596/hypergeometric_distribution_definition-_formula_how_to_calculate__4.png.webp)
Valószínűség = 0,1414 ~ 14,14%
Ezért 14,14% a valószínűsége annak, hogy pontosan 3 $ 100-as számlát válasszon, miközben 4 véletlenszerű számlát húz.
Relevancia és felhasználás
A hipergeometrikus eloszlás fogalma azért fontos, mert pontos módszert kínál a valószínűségek meghatározására, amikor a vizsgálatok száma nem túl nagy, és hogy a véges populációból mintát vesznek pótlás nélkül. Valójában a hipergeometrikus eloszlás analóg a binomiális eloszlással, amelyet akkor használnak, amikor a kísérletek száma lényegesen nagy. Ugyanakkor a hipergeometrikus eloszlást elsősorban a pótlás nélküli mintavételhez használják.