Mi a normál eloszlás a statisztikákban?
A Normal Distribution egy harang alakú frekvenciaeloszlási görbe, amely segít leírni az összes lehetséges értéket, amelyet egy véletlen változó egy adott tartományban el tud érni, mivel az eloszlási terület nagy része középen van, és kevesen vannak a farokban, a szélsőségekben. Ennek az eloszlásnak két kulcsparamétere van: az átlag (µ) és a szórás (σ), amelyek kulcsszerepet játszanak az eszköz-hozam kiszámításában és a kockázatkezelési stratégiában.
Hogyan értelmezzük a normális eloszlást
A fenti ábra azt mutatja, hogy a statisztikai normális eloszlás harang alakú görbe. Ennek az eloszlásnak a lehetséges eredményei a teljes valós számok, amelyek -∞ és + ∞ között helyezkednek el. A haranggörbe farka a diagram mindkét oldalán (+/-) korlátok nélkül kinyúlik.
- Az összes megfigyelés hozzávetőlegesen 68% -a +/- egy szórásba esik (σ)
- Az összes megfigyelés hozzávetőlegesen 95% -a +/- két szórásba esik (σ)
- Az összes megfigyelés megközelítőleg 99% -a +/- három szórásba esik (σ)
Ennek ferdesége nulla (az eloszlás szimmetriája). Ha az adatok eloszlása aszimmetrikus, akkor az eloszlás egyenetlen, ha az adatsor ferdesége nagyobb, mint nulla vagy pozitív ferdeség. Ezután az eloszlás jobb farka hosszabb, mint a bal, és negatív ferdeség esetén (nullánál kisebb) a bal farka hosszabb lesz, mint a jobb farka.
3-as kurtosisa van (az eloszlás csúcspontját méri), ami azt jelzi, hogy az eloszlás nem túl csúcsos vagy túl vékony farok. Ha a kurtosis több mint három, akkor az eloszlás nagyobb a zsírosabb farokkal, és ha a kurtosis háromnál kisebb, akkor vékony farka van, és a csúcspont alacsonyabb, mint a normális eloszlás.
Jellemzők
- Az eloszlás családját képviselik, ahol az átlag és a deviáció határozza meg az eloszlás alakját.
- Ennek az eloszlásnak az átlaga, mediánja és módja egyenlő.
- Az értékek fele a középponttól balra, a másik fele jobbra helyezkedik el.
- A standard görbe alatti teljes érték mindig egy lesz.
- Valószínűleg az eloszlás áll a középpontban, és kevesebb érték fekszik a farok végén.
Transzformáció (Z)
A véletlen változó (X) valószínűségi sűrűségfüggvényét (PDF) a következő eloszlás alapján adja meg:
ahol -∞ <x <∞; -∞ <µ 0
Hol,
- F (x) = Normál valószínűségi függvény
- x = Véletlen változó
- µ = Az eloszlás átlaga
- σ = Az eloszlás szórása
- π = 3,14159
- e = 2,71828
Átalakítási képlet
Hol,
- X = Véletlen változó
Példák a statisztikák normális eloszlására
Beszéljük meg a következő példákat.
1. példa
Tegyük fel, hogy egy vállalat 10000 alkalmazottal rendelkezik, és több fizetési struktúrája van annak a munkakörnek megfelelően, amelyben az alkalmazott dolgozik. A fizetéseket általában úgy osztják el, hogy a populáció átlaga µ = 60 000 USD, és a népesség szórása σ = 15 000 USD. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott alkalmazott fizetése kevesebb, mint 45000 USD évente.
Megoldás
Amint a fenti ábra mutatja, erre a kérdésre válaszként meg kell találnunk a normál görbe alatti területet 45-től a bal oldali farokig. Ezenkívül a Z-tábla értékét kell használnunk a helyes válasz eléréséhez.
Először a megadott átlagot és szórást kell átalakítanunk egy normál eloszlássá átlaggal (µ) = 0 és szórással (σ) = 1 a transzformációs képlet segítségével.
Az átalakítás után meg kell keresnünk a Z- táblázatot, hogy megtudjuk a megfelelő értéket, amely a helyes választ adja meg.
Adott,
- Átlag (µ) = 60 000 USD
- Szórás (σ) = 15000 USD
- Véletlen változó (x) = 45000 USD
Átalakítás (z) = (45000 - 60000/15000)
Transzformáció (z) = -1
Most az az érték, amely egyenértékű -1-vel a Z-táblázatban, 0,1587, amely a görbe alatti területet ábrázolja 45-től balra. Ez azt jelezte, hogy amikor véletlenszerűen választunk ki egy alkalmazottat, akkor annak valószínűsége, hogy évi 45 000 USD alatt lesz, 15,87%.
2. példa
Most megtartva a fenti forgatókönyvet, derítse ki annak valószínűségét, hogy a véletlenszerűen kiválasztott alkalmazott évente több mint 80 000 dollárt keres a normál elosztással.
Megoldás
Tehát ebben a kérdésben meg kell találnunk az árnyékolt területet 80-tól a jobb farokig ugyanazon képlet segítségével.
Adott,
- Átlag (µ) = 60 000 USD
- Szórás (σ) = 15000 USD
- Véletlen változó (X) = 80 000 USD
Átalakítás (z) = (80000 - 60000/15000)
Transzformáció (z) = 1,33
A Z-táblázat szerint az 1,33 egyenértékű értéke 0,9082 vagy 90,82%, ami azt mutatja, hogy annak valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztanak olyan alkalmazottakat, akik évente kevesebb mint 80 000 dollárt keresnek, 90,82%.
De a kérdésnek megfelelően meg kell határoznunk annak valószínűségét, hogy a véletlenszerű alkalmazottak évente több mint 80 000 dollárt keresnek, ezért 100-ból le kell vonnunk az értéket.
- Véletlen változó (X) = 100% - 90,82%
- Véletlen változó (X) = 9,18%
Tehát annak valószínűsége, hogy az alkalmazottak évente több mint 80 000 dollárt keresnek, 9,18%.
Használ
- A tőzsdei technikai diagram gyakran haranggörbe, amely lehetővé teszi az elemzők és a befektetők számára, hogy statisztikai következtetéseket vonjanak le a részvények várható hozamáról és kockázatáról.
- A való világban használják, például annak meghatározására, hogy a pizzacégek a pizza és még sok más valós alkalmazás szállítására mennyi idő várható.
- Egy adott populáció olyan magasságainak összehasonlítására használják, amelyben a legtöbb ember átlagos méretű lesz, nagyon kevés embernek van átlag feletti vagy alatti magassága.
- Ezeket használják a hallgatók átlagos tanulmányi teljesítményének meghatározására, ami segít összehasonlítani a hallgatók rangját.
Következtetés
A normális terjesztés alkalmazásokat talál az adattudományban és az adatelemzésben. Az olyan fejlett technológiák, mint a mesterséges intelligencia és a gépi tanulás, amelyet ezzel a terjesztéssel együtt használnak, jobb adatminőséget nyújthatnak, ami segítséget nyújt az egyéneknek és a vállalatoknak a hatékony döntéshozatalban.
