Képlet a minta szórásának kiszámításához
A minta szórása arra a statisztikai mutatóra vonatkozik, amelyet annak mérésére használnak, hogy egy véletlen változó mennyire tér el a minta átlagától, és kiszámításához az egyes változók átlagtól való eltérésének négyzeteit összeadjuk, majd elosztjuk az eredményt számos változó mínusz, majd kiszámítja a négyzetgyököt az eredmény exceljében.
Matematikailag a következőképpen ábrázolják:
σ = √ ∑ i n (xi - X) 2 / (n-1)
hol
- x i = i . véletlen változó
- X = a minta átlaga
- n = a mintában szereplő változók száma
A minta szórásának kiszámítása (lépésről lépésre)
- 1. lépés: Először gyűjtsön véletlenszerű változókat nagyszámú változóból álló populációból. Ezek a változók mintát alkotnak. A változókat x i jelöli .
- 2. lépés: Ezután határozza meg a mintában szereplő változók számát, és ezt n jelöli.
- 3. lépés: Ezután határozza meg a minta átlagát az összes véletlen változó összeadásával, és ossza el az eredményt a mintában szereplő változók számával. A mintaátlagot x-szel jelöljük.
- 4. lépés: Ezután számítsa ki a különbséget a minta egyes változói és a minta átlaga, azaz x i - x között.
- 5. lépés: Ezután számítsa ki az összes eltérés négyzetét, azaz (x i - x) 2 .
- 6. lépés: Ezután adja hozzá az összes négyzeteltérést, azaz ∑ (x i - x) 2 .
- 7. lépés: Ezután ossza el az összes négyzetbeli eltérés összegzését a mintában szereplő változók számával mínusz egy, azaz (n - 1).
- 8. lépés: Végül a minta szórásának képletét kiszámítjuk a fent említett eredmény négyzetgyökének kiszámításával, az alábbiak szerint.
Példák
1. példa
Vegyünk egy példát 5 tanulóból, akiket megkérdeztek, hogy megnézzék, hány ceruzát használnak hetente. Számítsa ki a minta szórását a megadott válaszaik alapján: 3, 2, 5, 6, 4
Adott,
- A minta mérete (n) = 5
Az alábbiakban a minta szórásának kiszámításához adunk adatokat.
Minta átlag
A minta átlagának kiszámítása
Mintaátlag = (3 + 2 + 5 + 6 + 4) / 5
Minta átlag = 4
Az egyes változók eltéréseinek négyzete az alábbiak szerint számítható:
- (3 - 4) 2 = 1
- (2 - 4) 2 = 4
- (5 - 4) 2 = 1
- (6 - 4) 2 = 4
- (4 - 4) 2 = 0
Most a minta szórását a fenti képlet segítségével számíthatjuk ki,
- ơ = √ ((1 + 4 + 1 + 4 + 0) / (5 - 1))
Az eltérés a következő lesz:
- ơ = 1,58
Ezért a minta szórása 1,58.
2. példa
Vegyünk egy példát egy New York-i irodára, ahol körülbelül 5000 ember dolgozik, és egy felmérést végeztek egy 10 fős mintán a dolgozó népesség átlagéletkorának meghatározása céljából. Határozza meg a minta szórását a megadott 10 ember életkora alapján: 23, 27, 33, 28, 21, 24, 36, 32, 29, 25
Adott,
- A minta mérete (n) = 10
A fenti adatok felhasználásával először kiszámoljuk a mintaátlagot
Minta átlag
A minta átlagának kiszámítása
= (23 + 27 + 33 + 28 + 21 + 24 + 36 + 32 + 29 + 25) / 10
Mintaátlag = 27,8
Az egyes változók eltéréseinek négyzete az alábbiak szerint számítható:
- (23 - 27,8) 2 = 23,04
- (27 - 27,8) 2 = 0,64
- (33 - 27,8) 2 = 27,04
- (28 - 27,8) 2 = 0,04
- (21 - 27,8) 2 = 46,24
- (24 - 27,8) 2 = 14,44
- (36 - 27,8) 2 = 67,24
- (32 - 27,8) 2 = 17,64
- (29 - 27,8) 2 = 1,44
- (25 - 27,8) 2 = 7,84
Eltérés
Az eltérés kiszámítható a fenti képlet használatával:
- ơ = √ ((23,04 + 0,64 + 27,04 + 0,04 + 46,24 +14,44 +67,24 + 17,64 + 1,44 + 7,84) / (10 - 1))
Az eltérés a következő lesz:
- ơ = 4,78
A részletes számítás megértéséhez a fenti Excel lapra hivatkozhat.
Relevancia és felhasználás
A minta szórás fogalma a statisztikus szempontjából nagyon fontos, mert általában az adatok mintáját nagy változók (populáció) halmazából veszik, amelyekből a statisztikus várhatóan becsüli vagy általánosítja az eredményeket a teljes populációra. Ez alól a standard deviáció mértéke sem kivétel, ezért a statisztikusnak a populáció szórásának értékelését kell elvégeznie a felvett minta alapján, és ekkor jön létre ilyen eltérés.
