Képlet a binomiális eloszlás kiszámításához
A binomiális eloszlási képletet arra használjuk, hogy kiszámítsuk az x siker valószínűségét a binomiális kísérlet n kísérletében, amelyek függetlenek, és a valószínűség a próbák száma és az nCx által reprezentált sikerek kombinációja alapján lesz megszorozva a felvetett siker valószínűségével a px által képviselt sikerek számának hatványára, amely tovább szorozódik a kudarc valószínűségével, amelyet a siker száma és az (1-p) nx által képviselt kísérletek száma közötti különbség erejéig növelünk.
Egy binomiális kísérlet n független kísérletében x siker elérésének valószínűségét a binomiális eloszlás következő képlete adja:
P (X) = n C x p x (1-p) nx
ahol p a siker valószínűsége
A fenti egyenletben n C x- et használunk, ami nem más, mint egy kombinációs képlet. A kombinációk kiszámításának képlete n C x = n! / x! (nx)! ahol n az elemek számát jelenti (független kísérletek), és x az egyszerre kiválasztott elemek számát (sikerek).
Ha binomiális eloszlásban n = 1, az eloszlást Bernoulli-eloszlásnak nevezzük. A binomiális eloszlás átlaga np. A binomiális eloszlás szórása np (1-p).
A binomiális eloszlás kiszámítása (lépésről lépésre)
A binomiális eloszlás kiszámítása a következő négy egyszerű lépés segítségével vezethető le:
- 1. lépés: Számítsa ki a próbák és a sikerek számának kombinációját. Az n C x képlete ahol n! = n * (n-1) * (n-2)… * 2 * 1. N szám esetén az n faktoriális értéke n írható fel! = n * (n-1)! Például 5! értéke 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- 2. lépés: Számítsa ki a siker valószínűségét a p x sikerek számának erejéig .
- 3. lépés: Számítsa ki a kudarc valószínűségét a sikerek száma és a próbák száma közötti különbség erejéig. A meghibásodás valószínűsége 1 p. Tehát ez az (1-p) nx előállítására vonatkozik
- 4. lépés: Ismerje meg az 1., 2. és 3. lépésben kapott eredmények szorzatát.
Példák
1. példa
A vizsgálatok száma (n) 10. A siker valószínűsége (p) 0,5. Végezze el a binomiális eloszlás kiszámítását, hogy kiszámítsa a pontosan hat siker elérésének valószínűségét.
Megoldás:
Használja a következő adatokat a binomiális eloszlás kiszámításához.
A binomiális eloszlás kiszámítása az alábbiak szerint történhet:
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Pontosan 6 siker elnyerésének valószínűsége lesz
P (x = 6) = 0,2051
Pontosan 6 siker valószínűsége 0,2051
2. példa
Egy biztosítótársaság vezetője végigmegy azon biztosítási kötvények adatain, amelyeket az alatta dolgozó biztosítási értékesítők értékesítettek. Megállapítja, hogy a gépjármű-biztosítást vásárlók 80% -a férfi. Meg akarja tudni, hogy ha véletlenszerűen kiválasztanak 8 gépjármű-biztosítási tulajdonosot, akkor mekkora annak a valószínűsége, hogy közülük pontosan 5 férfi.
Megoldás: Először meg kell találnunk, mi az n, p és x.
A binomiális eloszlás kiszámítása az alábbiak szerint történhet:
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Pontosan 5 siker valószínűsége lesz
P (x = 5) = 0,146000064
Pontosan 5 gépjármű-biztosítási tulajdonos férfi valószínűsége 0,144680064.
3. példa
A kórház vezetősége izgatottan várja a rákos betegek kezelésére szolgáló új gyógyszer bevezetését, mivel nagyon nagy az esélye annak, hogy egy személyt sikeresen kezeljék. Annak a valószínűsége, hogy a pácienst sikeresen kezelik a gyógyszerrel, 0,8. A gyógyszert 10 betegnek adják. Keresse meg annak valószínűségét, hogy 9 vagy több beteget sikeresen kezelnek.
Megoldás: Először meg kell találnunk, mi az n, p és x.
Meg kell találnunk annak valószínűségét, hogy 9 vagy több beteget sikeresen kezelnek. Így vagy 9, vagy 10 beteget kezel sikeresen
x (egy szám, amelynek valószínűségét meg kell találnod) = 9 vagy x = 10
Meg kell találnunk P (9) és P (10)
A binomiális eloszlás kiszámítása a P (x = 9) megtalálásához az alábbiak szerint végezhető el,
P (x = 9) = 10 ° C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,1334217728 * (0,2) 1
= 10 * 0,1334217728 * 0,2
Valószínűsége 9 Betegek -es értékű lesz
P (x = 9) = 0,2664
A binomiális eloszlás kiszámítása a P (x = 10) megtalálásához az alábbiak szerint végezhető el:
P (x = 10) = 10 ° C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 * 1
Annak a valószínűsége, 10 beteg -es értékű lesz
P (x = 10) = 0,1074
Ezért P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Így annak valószínűsége, hogy 9 vagy több beteget kezelnek a gyógyszerrel, 0,375809638.
Binomiális eloszlás kalkulátor
Használhatja a következő binomiális eloszlás kalkulátort.
| n | |
| o | |
| x | |
| Binomiális eloszlás képlete = | |
| Binomiális eloszlás képlete = | n C x * p x * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1-0) 0-0 = | 0 |
Relevancia és felhasználás
- Csak két eredmény van
- Az egyes kimenetelek valószínűsége próbáról tárgyalásra állandó
- Meghatározott számú vizsgálat van
- Minden vizsgálat független, azaz kizárja a többieket
- Megadja számunkra a sikeres eredmények lehetséges számának gyakorisági eloszlását egy adott számú vizsgálatban, ahol ezeknek az egyes vizsgálatoknak ugyanolyan a siker valószínűsége.
- A binomiális kísérletek mindegyikének csak két lehetséges eredménye lehet. Ezért a név binomiális. Ezen eredmények egyikét sikerként, másikat kudarcként ismerjük. Például a beteg emberek reagálhatnak egy kezelésre, vagy sem.
- Hasonlóképpen, amikor dobunk egy érmét, csak kétféle kimenetelünk lehet: fej vagy farok. A binomiális eloszlás a statisztikában használt diszkrét eloszlás, amely különbözik a folyamatos elosztástól.
Binomiális kísérletre példa egy érme dobása, mondjuk háromszor. Ha megfordítunk egy érmét, csak két eredmény lehetséges - fej és farok. Az egyes eredmények valószínűsége 0,5. Mivel az érmét háromszor dobják fel, a próbák száma rögzített, azaz 3. Az egyes dobások valószínűségét más dobások nem befolyásolják.
A binomiális eloszlás megtalálja alkalmazását a társadalomtudományi statisztikákban. Dichotóm kimeneti változók modelljeinek fejlesztésére használják, ahol két kimenetel létezik. Példa erre, hogy republikánusok vagy demokraták nyernék-e a választásokat.
Binomiális elosztási képlet az Excelben (excel sablonnal)
Saurabh az iskolában tanult a binomiális eloszlás egyenletéről. Meg akarja beszélni a koncepciót nővérével, és fogadást köt vele. Úgy gondolta, hogy tízszer dob el egy elfogulatlan érmét. 100 dollárt akar fogadni arra, hogy pontosan öt farokot kap 10 dobásból. Ehhez a fogadáshoz ki akarja számolni annak valószínűségét, hogy 10 dobásban pontosan öt farok jut.
Megoldás: Először meg kell találnunk, mi az n, p és x.
Van egy beépített képlet binomiális elosztás az Excel, ami
Ez a BINOM.DIST (sikerek száma, próbák, a siker valószínűsége, HAMIS).
A binomiális eloszlás ezen példája a következő lenne:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) ahol a B2 cella a sikerek számát, a B3 cella a próbák számát, a B4 cella pedig a siker valószínűségét jelenti.
Ezért a binomiális eloszlás kiszámítása
P (x = 5) = 0,24609375
Annak a valószínűsége, hogy pontosan 5 farok jut 10 dobásba, 0,24609375
Megjegyzés: A FALSE a fenti képletben a valószínűség tömegfüggvényét jelöli. Kiszámítja annak valószínűségét, hogy n független kísérletből pontosan n siker születik. A TRUE a kumulatív elosztási függvényt jelöli. Kiszámítja annak valószínűségét, hogy n független kísérletből legfeljebb x siker érhető el.
